Um engenheiro trabalha em uma indústria fora da cidade. Todo dia, um carro é enviado até a estação de trem para leva-lo até a fábrica. O carro chega na mesma hora que o trem no qual chega o engenheiro. Um dia, o engenheiro chega na estação uma hora antes do normal. Sem esperar a chegada do carro, ele imediatamente parte em direção a fábrica. No caminho, ele encontra o carro que imediatamente o leva para fábrica. Ele acaba chegando 10 minutos antes do horário normal. Quanto tempo o engenheiro caminha pela estrada até encontrar o carro?

Resposta : 55 minutos.

 

Solução : O carro partiu da fábrica na mesma hora de sempre, mas não fez o percurso total até a estação. Retornou do ponto em que encontrou o engenheiro, economizando duas vezes o tempo deste ponto até a estação. Portanto, como o tempo economizado no total é de 10 minutos, o percurso de carro do ponto de encontro até a estação é de 5 minutos. Como o carro chegava no horário exato do trem normal, que chegaria uma hora depois que o engenheiro começou a caminhar e faltavam apenas cinco minutos para chegada de trem no ponto de encontro, o engenheiro estava caminhando há 55 minutos neste momento.

Responda as seguintes perguntas:

Qual a probabilidade de pelo menos duas pessoas entre sete fazerem aniversário na mesma data?

Qual a probabilidade de exatamente duas pessoas entre sete fazerem aniversário no dia 5 de maio?

Qual a probabilidade de exatamente duas pessoas entre sete fazerem aniversário na mesma data?



Solução da primeira pergunta:

Primeiro, uma lei da lógica.

 Ou seja, ou uma coisa é ou não é. Somando as probabilidades de uma acontecimento ser com a probabilidade de não ser, teremos 100%, Ou seja, a probabilidade de pelo menos duas pessoas fazerem aniversário na mesma data será 1 menos a probabilidade de todas as pessoas fazerem aniversário em datas diferentes.
A probabilidade da primeira pessoa fazer aniversário em alguma data é 365/365. A probabilidade da segunda pessoa fazer aniversário em outra data  é a de ela fazer em qualquer uma das outras 364 datas, ou seja. A probabilidade da terceira pessoa fazer aniversário numa data diferente das duas primeiras é de 363/365 e assim por diante. Em termos matemáticos

Interessante notar que, se aumentarmos a quantidade de pessoas para 23 o resultado aumenta para cerca de 50%, probabilidade surpreendentemente alta. Este fato é conhecido como paradoxo do aniversário, pois a intuição nos leva a acreditar que esta probabilidade seria baixa.

Resposta a segunda pergunta :

Este caso corresponde exatamente à definição da distribuição de probabilidade binomial que diz qual a ocorrência de x eventos de probabilidade p de ocorrer e q de não ocorrer em n experimentos.

Em breve, a resposta aos outros problemas.

Duas esferas metálicas de mesmo volume estão inicialmente nas mesmas condições de pressão e temperatura, sendo que a primeira estava apoiada em cima de uma plataforma isolante e a segunda pendurada por uma corda isolante. Em dado instante, as duas recebem a mesma quantidade de calor. Qual das duas esferas terá, ao final, temperatura maior?

Solução:

Em ambos os casos haverá aumento de temperatura e dilatação. A esfera apoiada sobre o plano isolante dilata de forma a elevar seu centro de massa. Isto quer dizer que parte do calor é transformado em energia potencial, restando uma menor parte do calor para ser transformado em energia interna. A esfera pendurada pelo cordão isolante dilata de forma a abaixar seu centro de massa. Neste caso, a esfera irá perder energia potencial, sendo essa energia potencial transformada em energia interna. Resumindo, a esfera apoiada terá uma variação de energia interna menor que o calor cedido enquanto a esfera pendurada terá uma variação de energia interna maior do o calor cedido. Como a quantidade de calor cedido é a mesma, a esfera pendurada terá uma temperatura maior do que a apoiada ao final do processo.

Descubra em que linha está o número 2013 na tabela triangular abaixo:





Solução:


Observe a tabela a seguir. Ela mostra que os elementos do triângulo formam uma PA com elemento inicial 1 e razão de progressão 2, que chamamos de PA dos ímpares, ou PA ímpar. Cada linha possui um número de colunas igual ao número da coluna. Assim, a linha 1 tem 1 elemento, a linha 2, dois elementos, a linha 3 , 3 elementos e a linha n, n elementos. O último elemento de cada linha será o elemento da PA cuja ordem será igual a soma de colunas acumulada, o que corresponde a soma de 1 até n, S. Sabendo a ordem da PA ímpar, podendo-se calcular o seu S-ésimo. Na figura, foram acrescentadas as colunas que mostram o número de elementos da PA ímpar em cada linha, a soma acumulada de elementos S e o valor do S-ésimo elemento.

 


Agora, fica fácil calcular em que linha está o elemento 2013, basta encontrar um n para o qual o S-ésimo elemento seja maior do que 2013. Ou melhor, basta resolver a seguinte inequação:

Duas minhocas pesando 20 gramas cada uma delas sobem uma mureta de 10 cm. A primeira delas mede 20 cm e a  outra, mais gordinha, mede apenas 10 cm. Qual delas realizou mais trabalho, se ao final elas pararam com seu centro de massa bem em cima da mureta, supondo a largura da mureta desprezivel?

Solução:

Como se pode observar na figura abaixo, as minhocas sobem até que a metade de seu corpo fique exatamente no topo da mureta. Neste momento, o centro de gravidade da minhoca estará a uma distância de metade da metade do comprimento de seu corpo do topo da mureta, ou seja, a uma distância do topo de um quarto do comprimento de seu corpo. Assim, o trabalho realizado pela minhoca de 10 cm, por ter acumulado energia potencial maior do que a de 20 cm, pelo simples motivo de seu centro de gravidade ao final estar numa posição mais elevada, realizou mais trabalho. A relação exata entre os trabalhos é diretamente proporcional as alturas de seus centros de massa ao final do processo.

A figura esclarece os detalhes de forma gráfica e matemática.