Descubra em que linha está o número 2013 na tabela triangular abaixo:





Solução:


Observe a tabela a seguir. Ela mostra que os elementos do triângulo formam uma PA com elemento inicial 1 e razão de progressão 2, que chamamos de PA dos ímpares, ou PA ímpar. Cada linha possui um número de colunas igual ao número da coluna. Assim, a linha 1 tem 1 elemento, a linha 2, dois elementos, a linha 3 , 3 elementos e a linha n, n elementos. O último elemento de cada linha será o elemento da PA cuja ordem será igual a soma de colunas acumulada, o que corresponde a soma de 1 até n, S. Sabendo a ordem da PA ímpar, podendo-se calcular o seu S-ésimo. Na figura, foram acrescentadas as colunas que mostram o número de elementos da PA ímpar em cada linha, a soma acumulada de elementos S e o valor do S-ésimo elemento.

 


Agora, fica fácil calcular em que linha está o elemento 2013, basta encontrar um n para o qual o S-ésimo elemento seja maior do que 2013. Ou melhor, basta resolver a seguinte inequação:

Duas minhocas pesando 20 gramas cada uma delas sobem uma mureta de 10 cm. A primeira delas mede 20 cm e a  outra, mais gordinha, mede apenas 10 cm. Qual delas realizou mais trabalho, se ao final elas pararam com seu centro de massa bem em cima da mureta, supondo a largura da mureta desprezivel?

Solução:

Como se pode observar na figura abaixo, as minhocas sobem até que a metade de seu corpo fique exatamente no topo da mureta. Neste momento, o centro de gravidade da minhoca estará a uma distância de metade da metade do comprimento de seu corpo do topo da mureta, ou seja, a uma distância do topo de um quarto do comprimento de seu corpo. Assim, o trabalho realizado pela minhoca de 10 cm, por ter acumulado energia potencial maior do que a de 20 cm, pelo simples motivo de seu centro de gravidade ao final estar numa posição mais elevada, realizou mais trabalho. A relação exata entre os trabalhos é diretamente proporcional as alturas de seus centros de massa ao final do processo.

A figura esclarece os detalhes de forma gráfica e matemática.